閉じた系の絶対仕事の式の導出

外部から熱の出入りがない閉じた系に於いて、状態1から状態2に変化した時の仕事Wは、熱力学における仕事が圧力pと体積Vの積で定義されるから、

 ¥mathbb{W}_{12} = ¥int_1^{2}¥text{d}W = ¥int_1^{2}p¥text{d}V

で表現できる。この時、等温変化における仕事の式は以下の気体の状態方程式

 pV = nRT

を先ほどの式に代入して求めることができる。乃ち、

 ¥mathbb{W}_{12} = ¥int_1^{2}p¥text{d}V = ¥int_1^{2}¥frac{nRT}{V}¥text{d}V = nRT¥int_1^{2}¥frac{¥text{d}V}{V}

 ¥hspace{30}= nRT¥left[¥text{ln}V¥right¥]_{1}^{2} = nRT¥left[¥text{ln}V_2 - ¥text{ln}V_1¥right¥] = nRT¥text{ln}¥left(¥frac{V_2}{V_1}¥right)

また、圧力変化の時の仕事を求める場合はボイルの法則

 P_{1}V_1 = P_{2}V_2

より、以下のように式変型を行う。

 ¥mathbb{W}_{12} = nRT¥text{ln}¥left(¥frac{V_2}{V_1}¥right) = nRT¥text{ln}¥left(¥frac{P_1}{P_2}¥right)

(証明終わり)

《例題》
 30℃で1.0Lの容積を持つシリンダーの中に閉じ込められた1.0molのアルゴンが、等温可逆的に2.0Lまで膨張した時、これがした仕事はいくらか。

《回答》
 先ほどの等温変化時の仕事の式より、
 ¥mathbb{W}_{12} = nRT¥text{ln}¥left(¥frac{V_2}{V_1}¥right) = 1.0¥text{mol}¥times8.2145¥text{J}¥cdot¥text{K^{-1}}¥cdot¥text{mol^{-1}}¥times303.15¥text{K}¥times¥text{ln}¥(¥frac{2.0¥text{L}}{1.0¥text{L}}¥) = 1,726¥text{J}

(回答終わり)